Kinetische Theorie

Gudrun wollte sich mit unserem neuen Kollegen über sein hauptsächliches Forschungsthema, die kinetische Theorie unterhalten. Diese Denkweise wurde zur Modellierung von Gasen entwickelt und ist inspiriert von physikalischen Vorstellungen, die kinetische Energie als inhärente Eigenschaft von Materie ansieht. Die kinetische Gastheorie schaut auf die mikroskopische Ebene, um schließlich makroskopische Größen wie Wärme und Temperatur besser zu erklären.

Im sogenannten idealen Gas bewegen sich unfassbar viele kleine Massepunkte entsprechend der Newtonschen Mechanik frei, ungeordnet und zufällig im Raum, stoßen dabei ab und zu zusammen und wir empfinden und messen den Grad der Bewegungsaktivität der Teilchen als Wärme. Die Einheit, die man dieser Größe zunächst zuwies war Kalorie von lat. Calor=Wärme. Heute ist die richtige SI-Einheit für Energie (und damit auch Wärme) das Joule.

Die messbare Größe Temperatur ist damit vereinfacht ausgedrückt die mechanische Engergie im Gassystem und das Modell liefert eine kinetische Theorie der Wärme. Man kann es aber auch als Vielteilchensystem von mikroskopischen Teilchen ansehen aus denen sich in klar definierten (unterschiedlichen) Grenzwertprozessen makroskopische Größen und deren Verhalten ableiten lassen. Die Untersuchung dieser Grenzwerte ist eine mathematisch sehr anspruchsvolle Aufgabe und bis heute ein offenes Forschungsfeld, in dem nur Stück für Stück spezielle Fragen beantwortet werden. Eine Schwierigkeit ist dabei nämlich, dass automatisch immer sehr unterschiedliche Skalen nebeneinander existieren und in ihrer Interaktion richtig gefaßt und verstanden werden müssen. Außerdem ist in der Regel jeder Grenzwert, für den sich interessante Forschungsergebnisse ergeben, innerhalb der Theorie eine Singularität.

Schon Hilbert hatte 1900 die axiomatische Fassung der Physik zwischen Mechanik und Wahrscheinlichkeitsrechnung als eines der wichtigen mathematischen Probleme für das 20. Jahrhundert dargestellt. Wir sind seitdem vorangekommen, aber es bleibt noch sehr viel zu tun. Zum Beispiel ist die mögliche Korreliertheit zwischen den Teilchenbewegungen für Gase eine offene Frage (außer für kurze Zeiten).

Ein Vorteil gegenüber der Zeit Hilberts ist heute, dass wir inzwischen auch den Computer benutzen können, um Modelle zu entwickeln und zu analysieren. Dafür muss man natürlich geeignete numerische Methoden entwickeln. In der Arbeit von Martin Frank sind es in der Regel Integro-Differentialgleichungen mit hyperbolischer partieller Differentialgleichung für die Modellierung von Bewegungen ohne Dämpfung. Diese haben schon durch die Formulierung viele Dimensionen, nämlich jeweils 3 Orts- und 3 Geschwindigkeitskomponenten an jedem Ort des Rechengebietes. Deshalb sind diese Simulationen nur auf großen Parallelrechnern umsetzbar und nutzen High Performance Computing (HPC). Hieraus erklärt sich auch die Doppelrolle von Martin Frank in der Verantwortung für die Weiterentwicklung der HPC-Gruppe am Rechenzentrum des KIT und der Anwendung von Mathematik auf Probleme, die sich nur mit Hilfe von HPC behandeln lassen.

Sehr interessant ist in dieser Theorie die gegenseitige Beeinflussung von Numerik und Analysis in der Behandlung kleiner Parameter. Außerdem gibt es Anknüpfungspunkte zur Lattice Boltzmann Research Group die am KIT das Software-Paket OpenLB entwickeln und anwenden.

Auch wenn sich geschichtlich gesehen die kinetische Theorie vor allem als Gastheorie etabliert hat, ist die Modellierung nicht nur in Anwendung auf Gase sinnvoll. Beispielsweise lassen sich Finanzmärkte aus sehr vielen unabhängig handelnden Agenten zusammensetzen. Das Ergebnis der Handlungen der Agenten ist der Aktienpreis - sozusagen die Temperatur des Aktienmarktes. Es lassen sich dann aufgrund dieses Modells Eigenschaften untersuchen wie: Warum gibt es so viele Reiche?

Außerdem geht es auch darum, die richtigen Modellannahmen für neue Anwendungen zu finden. Zum Beispiel ist ein Resultat der klassischen Gastheorie das Beer-Lambertsche Gesetz. Es besagt, dass Photonen durch Wolken exponentiell abgeschwächen werden. Messungen zeigen aber, dass dies bei unseren Wolken gar nicht gilt. Wieso? Dafür muss man schon sehr genau hinschauen. Zunächst heißt das wohl: Die zugrunde liegende Boltzmann-Gleichung ist für Wolken eine zu starke Vereinfachung. Konkret ist es die Annahme, dass man sich die Wolken als homogenes Medium vorstellt wahrscheinlich nicht zutreffend, d.h. die Streuzentren (das sind die Wassertropfen) sind nicht homogen verteilt. Um ein besseres Modell als die Boltzmann-Gleichung herzuleiten müsste man nun natürlich wissen: Welche Art der Inhomogenität liegt vor?

Martin Frank hat Mathematik und Physik an der TU Darmstadt studiert, weil er schon in der Schulzeit großes Interesse an theoretischer Physik hatte. Im Studium hat er sich schließlich auf Angewandte Analysis spezialisiert und darin auch nach dem Diplom in Mathematik an der TU Darmstadt weiter gearbeitet. In dieser Zeit hat er auch das Diplom in Physik abgeschlossen. In der Promotion an der TU Kaiserslautern wurde es aber die numerische Mathematik, der er sich hauptsächlich zuwandte. In der eigenen universitären Lehre - aber auch in speziellen Angeboten für Schülerinnen und Schüler - pendelt er zwischen Projekt- und Theorie-zentriertem Lehren und Lernen.

Literatur und weiterführende Informationen

• M. Frank, C. Roeckerath: Gemeinsam mit Profis reale Probleme lösen, Mathematik Lehren 174, 2012.
• M. Frank, M. Hattebuhr, C. Roeckerath: Augmenting Mathematics Courses by Project-Based Learning, Proceedings of 2015 International Conference on Interactive Collaborative Learning, 2015.
• Simulating Heavy Ion Beams Numerically using Minimum Entropy Reconstructions - SHINE
• M. Frank, W. Sun:Fractional Diffusion Limits of Non-Classical Transport Equations
• P. Otte, M. Frank: Derivation and analysis of Lattice Boltzmann schemes for the linearized Euler equations, Comput. Math. Appl. Volume 72, 311–327, 2016.
• M. Frank e.a.: The Non-Classical Boltzmann Equation, and Diffusion-Based approximations to the Boltzmann Equation, SIAM J. Appl. Math. 75, 1329–1345, 2015.
• M. Frank, T. Goudon: On a generalized Boltzmann equation for non-classical particle transport, Kinet. Relat. Models 3, 395-407, 2010.
• M. Frank: Approximate models for radiative transfer, Bull. Inst. Math. Acad. Sinica (New Series) 2, 409-432, 2007.