David Hipp hat am Projekt Cooking Math mitgearbeitet. In seinem darin vorgestellten Forschungsprojekt betrachtet er eine relativ einfache Form der Wellengleichung, die jedoch gut für die Beschreibung von akustischen Wellen geeignet ist. Die Gleichung beschreibt die Wellenausbreitung im Raum mit Hilfe einer partiellen Differentialgleichung. Die Lösung der Wellengleichung ist eine Funktion deren Variablen die Zeit und der Ort sind. Konkret werden in der Gleichung zeitliche und räumliche Änderungen des Zustands, also der Funktion, in Beziehung gesetzt, um die Wellenausbreitung zu beschreiben.

Das mathematische Modell für Wellenausbreitung in beschränkten Gebieten umfasst neben der partiellen Differentialgleichung (die hier die Wellengleichung ist) auch noch die Anfangsbedingung, die den Zustand und die Geschwindigkeit zu Beginn des Prozesses festlegt, sowie die Bedingungen am Rand des Gebietes.

Physikalisch ist klar, dass Wellen, wenn sie auf die Oberfläche am Rand treffen beispielsweise reflektiert, gebrochen oder gestreut werden können - je nachdem welche Materialeigenschaften der Rand hat.

David Hipp untersucht in seiner Forschung insbesondere den Einfluss der Randbedingungen auf die Simulationen solcher Probleme - in seinem Fall also die Wellenausbreitung im Raum. Klassisch wird häufig die Dirichlet oder Neumann-Randbedingung gewählt bzw. die Robin Bedingung als Mischung der beiden. Diese drei Bedingungen auf dem Rand sind allerdings nicht immer realistisch genug, weil sie keine Bewegungen auf dem Rand erlauben..

Deshalb untersucht man derzeit dynamische Randbedingungen - das sind eben solche Bedingungen, die Bewegungen der Welle auf dem Rand zulassen. Damit kann die Wellen Energie an die Wand abgeben und die Wand selbst aktiver Teil der Wellenausbreitung wird. Das kann dann sogar zu Oberflächenwellen auf der Wand führen.

Konventionelle numerische Verfahren müssen auf diese neuartigen Randbedingungen erst angepasst werden. Zwar kann David Hipp auf die Finite Elemente Diskretisierung im Raum in Kombination mit klassichen Zeitschrittverfahren zurückgreifen, jedoch muss geprüft werden ob diese Verfahren immer noch so gute Ergebnisse liefern, wie man sie von üblichen Anwendungen gewohnt ist.

Eine Herausforderung der dynamischen Randbedingungen ist es, dass unterschiedliche Skalen im Prozess auftreten können, die dann auch so berücksichtigt werden müssen. Zum Beispiel schwingen die Wand und die akustische Welle mit unterschiedlichen Geschwindigkeiten oder Frequenzen. Im Moment genügt es für seine Testrechnungen, das Randgitter der FE-Diskretisierung zu belassen. In Zukunft geht es aber auch darum, hier Anpassungen für unterschiedlichste Materialien möglich zu machen um den verschiedenen Skalen gerecht zu werden.

David Hipp ging im Cooking Math Projekt sehr offen und mit wenigen konkreten Vorstellungen in die Zusammenarbeit mit der Hochschule für Gestaltung (HfG) hinein. Schlussendlich ist das vorliegende Ergebnis der Zusammenarbeit mit Oliver Jelko von der HfG eine Mischung aus Lehrvideo zur Mathematik der Wellenausbreitung und professioneller Animation numerischer Testrechnungen für drei unterschiedliche Randbedingungen: Dirichlet, Neumann und akustische Randbedingung. Die akustische Randbedingung ist eine dynamische Randbedingung, die auf der modellhaften Vorstellung beruht, dass die Wand aus vielen winzigen Federn besteht, welche zu schwingen beginnen, wenn sie durch auftreffende akustische Wellen dazu angeregt werden.

Als Mathematiker gehört die visuelle Darstellung der Ergebnisse zu unserer Arbeit und ist z.B. auch eine Form von Verifizierung. Aber die professionelle Animation zu Dirichlet-, Neumann und akustischen Randbedingungen durch einen Gestalter ist leichter zugänglich und erlaubt ein intuitives Verständnis.

Das Video aus dem Cooking Math Projekt

Literatur und Zusatzinformationen

• J. T. Beale, S. I. Rosencrans: Acoustic boundary conditions, Bull. Amer. Math. Soc. 80, 1276-1278, 1974.
• S. Larsson, V. Thomee: Partial Differential Equations with Numerical Methods, Springer, 2003.
• V. Rao: Boundary Condition Thinking, ein populärwissenschaftlicher Zugang zu Randbedingungen, 2011.
• R.P. Vito and S.A. Dixon: Blood Vessel Constitutive Models, 1995–2002, Annual Review of Biomedical Engineering 5, 413-439, 2003.

Podcasts

• J. Enders, C. Spatschek: Cooking Math, Gespräch mit G. Thäter und S. Ritterbusch im Modellansatz Podcast, Folge 80, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/cooking-math
• J. Eilinghoff: Splitting, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 81, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/splitting
• P. Krämer: Zeitintegration, Gespräch mit G. Thäter im Modellansatz Podcast, Folge 82, Fakultät für Mathematik, Karlsruher Institut für Technologie (KIT), 2016. http://modellansatz.de/zeitintegration